每日一题：2020-02-29

每日一题：2020-02-29
题目： $M$ 是边长为 $1$ 的正方形 $ABCD$ 内一点， 若 $MA^2-MB^2=\frac{1}{2} , \angle CMD=90^{\circ}.$ 求 $\angle MCD$ 的度数.

参考答案

如图所示，过 $M$ 作 $AD$ 边的平行线交 $CD$ 于 $Q$ , 交 $AB$ 于 $AB$ 于 $P$,
$AP=DQ, BP=CQ$ 由勾股定理可得： $MA^2-AP^2=MB^2-BP^2$ 即 $MA^2-MB^2=AP^2-BP^2$ ,
同理可得： $MD^2-MC^2=DQ^2-CQ^2=AP^2=BP^2$ 所以 $MD^2-MC^2=MA^2-MB^2=\frac{1}{2} $ 由 $\angle CMD=90^{\circ},MD^2+MC^2=CD^2=1$ 可得 $2MC^2=\frac{1}{2} , MC^2=\frac{1}{4} ,MC=\frac{1}{2} $ .

在直角三角形 $\triangle DMC $ 中, 由 $CM=\frac{1}{2} CD$ , 可得 $\angle MCD=60^{\circ}$ .