每日一题：2020-03-04

每日一题: 2020-03-04
题目:

如图所示, 在$Rt \triangle ABC$ 中$\angle ACB=90^{\circ}$, $M,N$ 分别在$BC,AC$ 上
, 满足$BM=AC, AN=CM$, $AM$ 与$BN$ 相交于点$P$. 求$\angle APN$ 的大小.

参考答案

过点$M$ 作$BC$ 的垂线, 使得$MD=AN$, 连结$DN,DB$, $\because AN$ 与$MD$ 平行且相等
, $\therefore MDNA$ 为平行四边形, $\therefore AM=ND$, $\angle MDN=\angle MAN$.

另一方面, $\because AC=BM,MC=MD\Rightarrow \triangle BDM\cong \triangle AMC$,
$\therefore BD=AM=ND$, $\angle CAM=\angle MBD\Rightarrow \angle BDM+\angle MDC=\angle BDM+\angle CAM=\angle BMD+\angle MBD=90^{\circ}$. 所以$\triangle BDN$ 为等腰直角三角形. 故有$\angle APN=\angle BND=45^{\circ}$.