每日一题：2020-03-10

每日一题: 2020-03-10
题目:
如图所示, 在$\triangle ABC$ 的$AB,AC$ 边分别向外作等腰直角三角形$\triangle ABD, \triangle ACE$, $\angle ADB=\angle AEC=90^{\circ}$. 设$M$ 为$BC$ 的中点.
证明: $\triangle MDF$ 是等腰直角三角形.

参考答案

如图所示作辅助线, 延长$BD$ 至$F$ 使$BD=DF$, 连结$FA,FC$, 延长$CE$ 至$G$ 使$CE=EG$,
连结$GA,GB$, 因为$M$ 为$BC$ 中点, 所以$DM\parallel FC, DM=\frac{1}{2}FC$,
$EM\parallel GB, EM=\frac{1}{2}GB$.

另一方面易得: $\angle FAB=90^{\circ}, \triangle FAC\cong \triangle BAG$.
所以有: $FC=GB, \angle AFC=\angle ABG\Rightarrow \angle BHC=90^{\circ}$.
因此容易等到$\angle DME=90^{\circ}, DM=EM$. 所以$\triangle DME$ 为等腰直角三角形
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