每日一题：2020-03-11

每日一题: 2020-03-11
题目:
宽与长的比是$\frac{\sqrt{5} -1}{2}$ 的矩形叫做黄金矩形. 心理测试表明:黄金矩形令
人赏心悦目,它给我们以协调、匀称的美感. 现将小李同学在数学活动中得到黄金矩形的方
法归纳如下:

第一步: 作正方形$ABCD$;
第二步: 取$BC$ 的中点$M$;
第三步: 以$M$ 为圆心,$MD$ 为半径画弧交$BC$ 延长线于点$F$;
第四步: 过$F$ 作$FE\bot AD$, 交$AD$ 的延长线于点$E$.

请你根据以上作法, 证明矩形$CDEF$ 为黄金矩形.

参考答案

设正方形的边长为$2a$. 所以$CM=a,MD=\sqrt{MC^2+CD^2}=\sqrt{5} a\Rightarrow CF=MF-MC=(\sqrt{5}-1)a$,

$\frac{CF}{CD}=\frac{(\sqrt{5} -1)a}{2a}=\frac{\sqrt{5} -1}{2}$.