每日一题：2020-03-18

每日一题: 2020-03-18
题目:
如图所示, 在四边形$ABCD$ 中, $AD\parallel BC$, 以$AB,CD$ 为一边分别向外作正方形
$ABGE$ 和$DCHF$, 连结$EF$, 设线段$EF$ 的中点为$M$. 求证: $MA=MD$.

参考思路

如图作辅助线, $N$ 为$AD$ 中点, 过$N$ 作$NP\parallel AE, NP=AE; NQ\parallel DF,NQ=DF;NR\parallel AB;NS\parallel DC$, 连结$PQ$.

因为$EP\parallel QF, EP=QF\Rightarrow EPFQ$ 为平行四边形, 所以$PQ$ 过$PQ$ 的中点
$M$.

连结$NM$ 并延长至$K$ 使$NM=MK$, 连结$KQ$. 所以四边形$PNQK$ 为平行四边形,
由$\angle PNQ+\angle NQK=180^{\circ}, \angle RNS+\angle PNQ=180^{\circ}\Rightarrow \angle RNS=\angle KQN$,
所以可得$\triangle RNS\cong KQN\Rightarrow KN\bot RS\Rightarrow MN\bot AD\Rightarrow MA=MD$.