每日一题：2020-03-20

每日一题: 2020-03-20
题目:
如图所示, 在$\triangle ABC$ 的$AB$ 和$AC$ 边往外作等腰直角三角形$\triangle ABD$
和$\triangle ACE$, $P,Q,M$ 分别是$AB,AC,DE$ 的中点, 求证: $\triangle MPQ$ 为等腰
直角三角形.

参考思路

连结$DP,DN,EQ,EN,MN$, 因为$\triangle ABD$ 与$\triangle AEC$ 为等腰直角三角形, 所
以$DP\bot AB,EQ\bot AC$, 因为$M,N,Q,P$ 分别为中点, 所以$APNQ$ 为平行四边形, 所以
$\triangle DPN\cong \triangle NQE(SAS)\Rightarrow DN=NE$, 通过计算可得$\angle DNE=90^{\circ}$ (注意,此方法同样适用于3月10日每日一题)

所以得$\triangle DEN$ 为等腰直角三角形( 用3月10日得方法也行)

因此得$\angle PNM=\angle QEM\Rightarrow \triangle PNM\cong QEM(SAS)\Rightarrow$,
接下来易证$\triangle PQM$ 为等腰直角三角形.