每日一题：2020-03-25

每日一题: 2020-03-25
题目:
如图所示, $\triangle ABC$ 是等腰三角形, $\angle C=90^{\circ}$, $O$ 是$\triangle ABC$ 内一点, 点$O$ 到$\triangle ABC$ 各边的距离都等于$1$. 将$\triangle ABC$ 绕点$O$ 顺时针旋转$45^{\circ}$ 到$\triangle A_1B_1C_1$, 求$\triangle ABC$ 与$\triangle A_1B_1C_1$公共部分的面积.

参考思路

设$CO$ 交$QP$ 于$D$, $C_1O$ 交$PN$ 于$E$, 由$\angle BCO=\angle COE=45^{\circ}\Rightarrow \triangle OCE$ 为等腰直角三角形, 显然$\triangle CQP, \triangle C_1PN$ 也为等腰直角三角形, 因为$OE=OD=1$,可得$OC=OC_1=\sqrt{2}\Rightarrow CD=C_1E=\sqrt{2}-1$, 因此有: $QC=CP=PC_1=\sqrt{2}\cdot(\sqrt{2-1})=2-\sqrt{2},QP=2CD=2\sqrt{2}-2$.

易证$\triangle A_1KQ,\triangle AKL, \triangle LB_1M, \triangle MBN$均为等腰直角三角形, 所以易得$AC=A_1C_1=2+\sqrt{2},A_1Q=2,BM=\sqrt{2},CK=2$, 所以$AK=\sqrt{2}$,容易求得重叠部分面积为:$S_{ABC}-S_{ALK}-S_{BMN}-S_{CQP}=4\sqrt{2}-2$.