每日一题：2020-03-28

每日一题:2020-03-28

题目:
如图所示, $\triangle ABC$ 和$\triangle ADE$ 是两个不全等得等腰三角形, 现固定
$\triangle ABC$, 而将$\triangle ADE$ 绕点$A$ 在平面上旋转. 试证: 不论$\triangle ADE$
旋转到什么位置, 线段$EC$ 上必存在点$M$, 使$\triangle BMD$ 为等腰直角三角形.

参考思路

$M$ 为线段$EC$ 的中点时满足要求, 下面分4中情况说明:(考虑顺时针旋转)

(1)如图所示, 当旋转的角度是锐角时, 此题在之前的题目中已经出现过, 只需证明$\triangle DMT \cong \triangle MBS(SAS)$即可.

(2)如图所示, 当旋转的角度是$180^{\circ}$ 时, $EC=2EM=2(TA+AS)\Rightarrow TA=MS$, 同理$TM=SE$.
所以$\triangle DTM\cong \triangle MSB(SAS)\Rightarrow DM=BM, \angle DMB=90^{\circ}$.

(3) 当旋转角度大于180度时, 如图所示, 同样可证$\triangle DMT\cong \triangle MBS(SAS)$ 即可.

(4) 当旋转$360^{\circ}$ 时, 如图所示, 仿照(2) 可以征得$\triangle DTM\cong \triangle MSB$.