每日一题：2020-04-02

每日一题: 2020-04-02

题目:
若函数$y=2|x-3|$ 与$y=x-a$ 的图象围出一个平面区域, 求实数$a$ 的取值范围及这个
区域的面积.

参考思路

因为

\[
y=\left\{\begin{array}{lr} 2x-6 & x\geq 3 \\ 6-2x & x<3 \end{array}\right.
\]

如图所示, 若要围出一个平面区域, 即要$-a>-3\Rightarrow a<3$.

设$y=x-a$ 与$y=2|x-3|$ 相交于点$A,B$ 与$x$ 轴交与点$C$. 有
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=2x-6 \\ y=x-a \end{array}\right.\Rightarrow A(6-a,6-2a)
\]
和
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=6-2x \\ y=x-a \end{array}\right.\Rightarrow B(\frac{a+6}{3},\frac{6-2a}{3})
\]

因此$S_{ABD}=S_{BCD}-S_{ACD}=\frac{2}{3}(a-3)^2$.