每日一题：2020-04-03

每日一题: 2020-04-03

题目:
如图所示, 已知$ABCD$ 是边长为$a$ 的正方形, $M$ 为$AB$ 中点, $CN=3NB$. 求$PD$的长.

参考思路

以$A$ 为原点, $AB$ 所在直线为$x$, $AD$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系.
所以$A(0,0), M(\frac{a}{2},0), B(a,0), N(a,\frac{a}{4}),C(a,a)$.
易求得$AN$ 所在的直线方向为$ y=\frac{1}{4}x$; $CM$ 所在的直线方程为$y=2x-a$.
联立上述两个方程
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=\frac{1}{4}x \\ y=2x-a \end{array}\right.
\]
解上述方程组得$P(\frac{4}{7}a,\frac{a}{7})$
所以$PD=\frac{2\sqrt{13}a}{7}$