每日一题：2020-04-05

每日一题: 2020-04-05

题目:
如图所示, $ABCD$ 为矩形, $N$ 为平面内一点, 连$AN,DN$ 均与$BC$ 相交, 作$CP\bot AN$于点 $P$,
$BQ\bot DN$ 于点$Q$, 两垂线相交于点$M$, 连结$MN$. 证明: $MN\bot AD$.

参考思路

如图,分别过$N,B$ 作$AB,AN$ 的平行线交于点$T$, 连结$TC$, 设$CP,BQ$ 分别交$TB,TC$ 于$E,F$.
连结$TM$. 因为$ABTN$ 为平行四边形, 所以$\angle BTN=\angle BAN$.
另一方面在$\triangle BCT$ 中, $CE\bot TB, BF\bot TC$, 所以$M$ 为垂心, 故由$TM\bot BC$.
所以易得$\angle BTM=\angle BAN$,综上可得: $\angle BTN=\angle BTM\Rightarrow T,N,M$ 三点共线.
因此有$NM\bot BC$, 即$NM\bot AD$.