每日一题：2020-04-07

每日一题: 2020-04-07

题目:
如图所示, 在$\triangle ABC$ 外分别作正方形$ABEF$ 和$ACMN$, 再作$AH\bot BC$ 并
反向延长与$FN$ 交于点$D$. 请建立适当的平面直角坐标系用一次函数的方法证明$D$ 为
线段$FN$ 的中点.

参考思路

如图,以$H$ 为原点, $BC$ 所在直线为$x$ 轴$AH$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标
系, 分别过$F,N$ 作$y$ 轴的垂线, 垂足分别为$P,Q$, 设$AH=a,BH=b,CH=c$. 再由
$\triangle ABH\cong \triangle FAP, \triangle ACH\cong \triangle NAQ$ 可以求得
$F(-a,a+b),N(a,a+c)$, 可以求得直线$FN: y=\frac{c-b}{2a}x+a+\frac{b+c}{2}$.
令$x=0\Rightarrow y=a+\frac{b+c}{2}\Rightarrow D(0,a+\frac{b+c}{2})$.

又$\because F(-a,a+b),N(a,a+c)\Rightarrow FN$ 的中点为$(\frac{-a+a}{2},\frac{(a+b)+(a+c)}{2})$ 即$(0,a+\frac{b+c}{2})$.

所以$FN$ 的中点与点$D$ 重合, 即$D$ 为$FN$ 的中点.