每日一题：2020-04-10

每日一题: 2020-04-10

题目:
如图所示, 已知$ABCD$ 为平行四边形,$AE\bot CD$ 于$E$, $AF\bot CB$ 于$F$. $FE,BD$相交于点$P$.
求证: $PA\bot AC$.

参考思路

如图以$A$ 为原点, $AB$ 所在直线为$x$ 轴, $AE$ 所在直线为$y$ 轴建立平面直角坐标系.
设$AB=1,AE=a, ED=b\Rightarrow C(b+1,a),B(1,0),D(b,a),E(0,a)$.
所以易得直线方程: $AD: y=\frac{a}{b}x, CB: y=\frac{a}{b}x-\frac{a}{b}, AC:y=\frac{b+1}{a}x$.
因为$AF\bot CB\Rightarrow AK: y=-\frac{b}{a}x$.
联立$AF,CB$ 可得$F$ 点坐标
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-\frac{b}{a}x \\ y=\frac{a}{b}x-\frac{a}{b} \end{array}\right.\Rightarrow F\left( \frac{a^2}{a^2+b^2},-\frac{ab}{a^2+b^2} \right) .
\]
易求得$EF: y=-\frac{a^2+b^2+b}{a}x+a, BD: y=\frac{a}{b-1}x-\frac{a}{b-1}$, 联立得$P$ 点坐标
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=\frac{a}{b-1}x-\frac{a}{b-1} \\ y=-\frac{a^2+b^2+b}{a}x+a \end{array}\right.\Rightarrow P\left( \frac{a^2b}{a^2+(b-1)(a^2+b^2+b)},\frac{a^2b}{a^2+(b-1)(a^2+b^2+b)}\times \frac{a}{b-1}-\frac{a}{b-1} \right)
\]
通过计算可得: $AP: y=-\frac{b+1}{a}x$.
因为$-\frac{b+1}{a}\times \frac{a}{b+1}=-1$, 所以$PA\bot AC$.

注: 这里用到下面这个关系: 如果直线$l_1: y=k_1x+b_1, l_2: y=k_2x+b_2$, 则$l_1\bot l_2 \Leftrightarrow k_1\cdot k_2 =-1$.