每日一题：2020-04-14

每日一题:2020-04-14

题目:
已知以$A(0,2),B(2,0),O(0,0)$ 三点为顶点得三角形被直线$y=ax-a$ 分成两部分, 设靠
近原点$O$ 一侧那部分得面积为$S$, 试写出用 $a$ 表示得$S$ 的解析式.

参考思路

如图所示, 已知直线$AB$ 的方程为$y=-x+2$, 直线$y=ax-a$ 过定点$C(1,0)$.
下面分两种情况讨论.

(1) 直线$y=ax-a$ 与线段$OA$ 相交, 设交点为$E$, 则靠近原点$O$ 一侧的图形是三角形.
所以$S=\frac{1}{2}\times OE\times OC=\frac{1}{2}\times (-a)\times 1=-\frac{a}{2}$.
此时$-2\leq a<0$

(2) 直线$y=ax-a$ 与线段$AB$ 相交, 设交点为$D$, 则靠近原点$O$ 一侧的图形是四边形.
由
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=ax-a \\ y=-x+2 \end{array}\right.\Rightarrow D\left( \frac{2+a}{1+a},\frac{a}{1+a} \right)
\]

而此时$a$ 的范围是$a<-2$ 或$a>0$.(因为除了$a=0$ 不考虑外, 直线不是与线段$OA$ 相
交就是和线段$AB$相交)
$S=S_{\triangle OAB}-S_{\triangle DCB}=2-\frac{1}{2}\times 1\times\frac{a}{1+a}=\frac{4+3a}{2+2a}$.
所以有
\[
S=\left\{\begin{array}{lr} -\frac{a}{2} & (-2\leq a<0) \\ \frac{4+3a}{2+2a} & (a<-2 \mbox{或} a>0) \end{array}\right.
\]