每日一题：2020-04-15

每日一题: 2020-04-15

题目:
已知$A(-3,2), B(-2,-3), C(3,1)$, 试求$\triangle ABC$ 的重心坐标及外心坐标.

参考思路

如图所示, 设$D,E$ 分别为$BC,AC$ 的中点, 所以$D(\frac{1}{2},-1), E(0,\frac{3}{2})$.
易求得$AD: y=-\frac{6}{7}x-\frac{4}{7}; BE: y=\frac{9}{4}x+\frac{3}{2}$. 联立得
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-\frac{6}{7}x-\frac{4}{7} \\ y=\frac{9}{4}x+\frac{3}{2} \end{array}\right.\Rightarrow G(-\frac{2}{3},0)
\]

再易求得$BC: y=\frac{4}{5}x-\frac{7}{5}; AC: y=-\frac{1}{6}x+\frac{3}{2}$.
所以设$BC$ 的垂直平分线$OD: y=-\frac{5}{4}x+b_1$; $AC$ 的垂直平分线$OE:y=6x+b_2$.
代入$D(\frac{1}{2},-1), E(0,\frac{3}{2})$ 解得$b_1=-\frac{3}{8}, b_2=\frac{3}{2}$

\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-\frac{5}{4}x-\frac{3}{8} \\ y=-\frac{1}{6}x+\frac{3}{2} \end{array}\right.\Rightarrow O(-\frac{15}{58},-\frac{3}{58})
\]