每日一题：2020-04-18

每日一题: 2020-04-18

题目:
设直线$nx+(n+1)y=\sqrt{2}$($n$ 为自然数) 与两坐标轴围成的三角形面积为
$S_n (n=1,2,\cdots,2020)$, 求$S_1+S_2+\cdots+S_{2020}$ 的值.

参考思路

设直线与$x$ 轴, $y$ 轴的交点分别为$A,B$.
令$y=0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{n}\Rightarrow A\left( \frac{\sqrt{2}}{n},0 \right) ; 令x=0\Rightarrow y=\frac{\sqrt{2}}{n+1}\Rightarrow A\left(0, \frac{\sqrt{2}}{n+1} \right) $.
因此有
\[
S_n=\frac{1}{2}|OA|\times |OB|=\frac{1}{n(n+1)}
\]
所以
\[
S_1+S_2+\cdots+S_{2020}=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\cdots+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{2020}{2021}.
\]