每日一题：2020-04-20

每日一题: 2020-04-20

题目:
如图所示, 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k>0,x>0)$ 的图象上有两点$P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$,
且$x_2>x_1$. 分别过$P_1,P_2$ 向$x$ 轴作垂线, 垂足为$B,D$. 过$P_1,P_2$ 向$y$ 轴
作垂线, 垂足分别为$A,C$.

(1) 若记四边形$AP_1BO$ 和四边形$CP_2DO$ 的面积分别为$S_1,S_2$, 周长分别为
$C_1,C_2$. 试比较$S_1$ 和$S_2$, $C_1$ 和$C_2$ 的大小;

(2)若$P$ 是图象上任一点, 分别过$P$ 向$x$ 轴, $y$ 轴作垂线, 垂足分别为$M,N$.
试问当$P$ 在何处时四边形$PMON$ 的周长最小, 最小值为多少?

参考思路

(1) 由题设可得$S_1=x_1y_1, S_2=x_2y_2,C_1=2x_1+2y_1, C_2=2x_2+2y_2$.
因为$P_1,P_2$ 都在反比例函数图象上, 所以$x_1y_1=x_2y_2=k\Rightarrow S_1=S_2$;

\[
C_2-C_1=2(x_2+y_2)-2(x_1+y_1)=2(x_2-x_1)+2(y_2-y_1)=2(x_2-x_1)+(\frac{k}{x_2}-\frac{k}{x_1})
\]

通过化简可得

\[
C_2-C_1=2(x_2-x_1)\left( 1-\frac{k}{x_1x_2} \right)
\]

所以当$x_1x_2=k$ 时有$C_1=C_2$; 当$x_1x_2>k$ 时有$C_2>C_1$; 当$k>x_1x_2$ 时有 $C_1 > C_2$

(2)设$P(x,y)$, 易得四边形$PMON$ 的周长

\[
C=2x+2y=2x+\frac{2k}{x}=2(x-2\sqrt{k}+\frac{k}{x})+4\sqrt{k}=2(\sqrt{x}-\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{x}})^2+4\sqrt{k}.
\]

所以当$\sqrt{x}=\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{x}}$ 即$x=\sqrt{k}$ 时, $C$ 取得最小值$4\sqrt{k}$.