每日一题：2020-04-23

每日一题: 2020-04-23

设$f(x)=mx+\frac{1}{m}(1-x)$, 其中$m>0$, 记$f(x)$ 在$0\leq x\leq 1$ 的最小值为$g(m)$.
求$g(m)$ 及其最大值, 并画出$y=g(m)$ 的图象.

参考思路

因为$f(x)=\left( m-\frac{1}{m} \right)x+\frac{1}{m}$, 所以

(1)当$0\lt m\lt 1$ 时, $(m-\frac{1}{m})\lt 0$, 所以$f(x)$ 随着$x$ 的增大而减小, 因此有$g(m)=f(1)=m$.

(2) 当$m>1$ 时, $(m-\frac{1}{m})>0$, 所以$f(x)$ 随着$x$ 的增大而增大, 因此有$g(m)=f(0)=\frac{1}{m}$.

(3) 当$m=1$ 时, $f(1)=1\Rightarrow g(m)=1$.

综上可得
\[
g(m)=\left\{\begin{array}{lr} m & (0\lt m \leq 1) \\ \frac{1}{m} & (m>1) \end{array}\right.
\]

画出图象如图所示, 可知当$m=1$ 时$g(m)$ 取得最小值为$1$.