每日一题：2020-04-24

每日一题: 2020-04-24

题目:
如图所示, 已知$A$ 为第一象限内, 直线$y=3x$ 上的一个动点, 过$AM$ 的直线与$x$ 轴
正半轴交于$B$ 点, 若$M(8,3)$. 求$\triangle OAB$ 面积的最小值.

参考思路

设$A(a,3a) (a>0)$ 所以可以用$a$ 表示直线$AB$ 的方程, 设直线方程为$y=kx+b$, 代
入点$A(a,3a), M(8,3)$, 得直线方程的解析式为:
\[
y=\frac{3-3a}{8-a}x+\frac{21a}{8-a}
\] 令$y=0\Rightarrow B\left( \frac{7a}{a-1},0 \right) . 这里显然有a>1$.

所以$\triangle OAB$ 的面积$S=\frac{1}{2}\cdot \frac{7a}{a-1}\cdot 3a=\frac{21}{2}\cdot \frac{a^2}{a-1}$.

下求$\frac{a^2}{a-1}$ 的最小值
\[
\frac{a^2}{a-1}=\frac{a^2-1+1}{a-1}=a+1+\frac{1}{a-1}=a-1+\frac{1}{a-1}-2+4=\left( \sqrt{a-1}-\frac{1}{\sqrt{a-1}} \right)^2+4
\]
所以$\frac{a^2}{a-1}\geq 4$ 当$\sqrt{a-1}=1$ 即$a=2$ 时取到等号.

因此$S_{min}=\frac{21}{2}\cdot 4=42$.