每日一题：2020-04-25

每日一题: 2020-04-25

题目:
如果函数$y=f(x)$, 对于某范围内的任意两个数$x_1,x_2$, 和任意$0\lt \lambda \lt 1$, 都有

$f(\lambda x_1+(1-\lambda) x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda) f(x_2)$

我们就称函数$y=f(x)$ 在这个范围内是凸函数.

请证明: $f(x)=\frac{1}{x} (x>0)$ 是凸函数.

参考思路

由已知$x_1>0,x_2>0$. $f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)=\frac{1}{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2}$; $\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)=\frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2}$.
所以得

$(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\cdot \left( \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2} \right) =\lambda^2+\lambda (1-\lambda )\left( \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1} \right) +(1-\lambda )^2$

因为

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}-2=\left( \sqrt{\frac{x_1}{x_2}}-\sqrt{\frac{x_2}{x_1}} \right) ^2\Rightarrow \frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}\geq 2$

所以有

$(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\cdot \left( \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2} \right) \geq \lambda^2+2\lambda (1-\lambda ) +(1-\lambda )^2 =(\lambda +1-\lambda )^2=1$

因此可得

$\frac{1}{\lambda x_1+(1-\lambda )x_2}\geq \frac{\lambda }{x_1}+\frac{1-\lambda }{x_2}$

即$f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)\leq \lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)$. 所以
$y=\frac{1}{x}(x>0)$ 为凸函数.