每日一题：2020-04-26

每日一题: 2020-04-26

题目:
求直线$y=4x+2$ 关于直线$y=2x-1$ 对称的直线方程.

参考思路

联立
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=4x+2 \\ y=2x-1 \end{array}\right.\Rightarrow A(-\frac{3}{2},-4)
\]
点$B$ 为$y=4x+2$ 与$y$ 轴得交点, $\therefore B(0,-2)$, 作$B$ 关于直线$y=2x-1$
的对称点$C$, 设$C(a,b)$, 由对称性知$BC$ 的中点$M$ 在直线$y=2x-1$ 上,且$BC\bot AM$.

设$BC$ 所在的直线方程为$y=k_1x+2\Rightarrow k_1=\frac{b-2}{a}=-\frac{1}{2}\Rightarrow a+2b=4$;

由$M(\frac{a}{2},\frac{b+2}{2})$ 在直线$y=2x-1$ 上得$\frac{b+2}{2}=a-1\Rightarrow 2a-b=4$.

\[
\left\{\begin{array}{lr} a+2b=4 \\ 2a-b=4 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} a=\frac{12}{5} \\ b=\frac{4}{5} \end{array}\right.\Rightarrow C\left( \frac{12}{5},\frac{4}{5} \right)
\]

所以$AC$ 所在得直线为所求, 设$AC$ 的直线方程为$y=kx+b$, 代入点$A(-\frac{3}{2},-4), C(\frac{12}{5},\frac{4}{5})$.
解得直线$AC$ 的方程为:

$y=\frac{16}{13}x-\frac{28}{13}$