每日一题：2020-04-27

每日一题: 2020-04-27

题目:
请证明函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象是中心对称图形, 并求其对称中心.

参考思路

已知

y=\frac{4x+3}{2x-4}=2+\frac{11/2}{x-2} $$所以$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象是有$y=\frac{11/2}{x}$ 的图象向右平移$2$ 个 单位,向上平移$2$ 个单位得到, 因为$y=\frac{11/2}{x}$ 的图象关于原点成中心对称, 所以$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象应该关于$(2,2)$ 成中心对称, 下面严格证明$(2,2)$ 就是其对称中心. 设$(x_0,y_0)$ 是函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 图象上的任意一点, $(x_0,y_0)$ 关于 $(2,2)$ 的对称点是$(4-x_0,4-y_0)$, 下证$(4-x_0,4-y_0)$ 也在$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的函数图象上. 当$x=4-x_0$ 时, 代入函数有 $y=\frac{4(4-x_0)+3}{2(4-x_0)-4}=\frac{-4x_0+19}{-2x_0+4}=\frac{4x_0-19}{2x_0-4}$. 另一方面$4-y_0=4-\frac{4x_0+3}{2x_0-4}=\frac{4x_0-19}{2x_0-4}$, 所以$y=4-y_0$, 即$(4-x_0,4-y_0)$ 也在函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象上, 所以函数$y=\frac{4x+3}{2x-4}$ 的图象关于$(2,2)$ 成中心对称.