每日一题：2020-04-28

每日一题: 2020-04-28

题目:
编号为$1$ 至$25$ 的$25$ 个弹珠被分放在两个篮子$A$ 和$B$ 中. $15$ 号弹珠在篮子
$A$ 中, 把这个弹珠从篮子$A$ 移至篮子$B$ 中, 这时篮子$A$ 中的弹珠号码的平均数等
于原来平均数加$\frac{1}{4}$, $B$ 中弹珠号码数的平均数也等于原平均数加$\frac{1}{4}$.
问原来在篮子$A$ 中有多少个弹珠?

参考思路

设原来篮子$A$ 中有弹珠$x$ 个, 则篮子$B$ 中有弹珠$(25-x)$ 个. 又记原来$A$ 中弹
珠号码数的平均数为$a$, $B$ 中弹珠号码数的平均数为$b$, 则由题意得
\[
\left\{\begin{array}{lr} ax+(25-x)b=1+2+\cdots +25=325 \\ \frac{ax-15}{x-1}-a=\frac{1}{4} \\ \frac{b(25-x)+15}{26-x}-b=\frac{1}{4} \end{array}\right.
\]
由后两个式子可得: $a=\frac{x+59}{4}, b=\frac{34+x}{4}$ 代入第一个式子可得
\[
\frac{1}{4}(x+59)-\frac{1}{4}(x+34)+\frac{25}{4}(x+31)=325\Rightarrow x=9
\]
因此原来篮子$A$ 中有$9$ 个弹珠.