每日一题：2020-04-29

每日一题: 2020-04-29

题目:
某班参加一个智力竞赛, 共$a,b,c$ 三道题, 每题或者得满分或者得$0$ 分, 其中题$a$
满分为$20$ 分, $b,c$ 题满分分别为$25$ 分. 竞赛结果: 每个学生至少答对了一题, 三
题全答对的有$1$ 人, 答对其中两道题的有$15$ 人, 答对题$a$ 的人数与答对题$b$ 的
人数之和为$29$; 答对题$a$ 的人数与答对题$c$ 的人数之和为$25$; 答对题$b$ 的人数
与答对题$c$ 的人数之和为$20$, 问这个班的平均成绩是多少?

参考思路

如图所示设未知数, $A,B,C$ 分别表示做出题目$a,b,c$的人数, 由已知可得
\[
\left\{\begin{array}{lr} d+e+f=15 \\ (a+d+e+1)+(b+d+f+1)=29 \\ (a+d+e+1)+(c+e+f+1)=25 \\ (b+d+f+1)+(c+e+f+1)=20 \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} a+b+c=4 \\ a+d+e+1=17 \\ b+d+f+1=12 \\ c+e+f+1=8 \end{array}\right.
\]
所以平均成绩为
\[
\frac{20(a+d+e+1)+25(b+d+f+1)+25(c+e+f+1)}{20}=42
\]