每日一题：2020-04-30

每日一题: 2020-04-30

题目:
在平面直角坐标系$xOy$ 中, 点$A,B$ 分别在函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$ 与$y_2=-\frac{4}{x}(x<0)$
的图象上, $A, B$ 的横坐标分别为$a,b$.

(1) 若$AB\parallel x$ 轴, 求$\triangle OAB$ 的面积;

(2)若$\triangle OAB$ 是以$AB$ 为底边的等腰三角形, 且$a+b\neq 0$, 求$ab$ 的值;

(3) 作边长为$3$ 的正方形$ACDE$, 使$AC\parallel x$ 轴, 点$D$ 在点$A$ 的左上方,
那么, 对大于或等于$4$ 的任意实数$a$, $CD$ 边与函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图
象都有交点, 请说明理由.

参考思路

(1) 如图, $AB$ 交$y$ 轴于$C$, 因为$AB\parallel x$ 轴, 所以
\[
S_{\triangle OAC}=\frac{1}{2}\times |4|=2, S_{\triangle OBC}=\frac{1}{2}\times |-4|=2
\]
所以$S_{\triangle OAB}=S_{OAC}+S_{OBC}=2+2=4$.

(2) 因为$A,B$ 的横坐标分别为$a,b$, 所以$A,B$ 的终坐标分别为$\frac{4}{a}, -\frac{4}{b}$,所以
\[
OA^2=a^2+\left( \frac{4}{a} \right)^2, OB^2=b^2+\left( -\frac{4}{b} \right)^2
\]
由$OA=OB\Rightarrow (a+b)(a-b)\left( 1-\frac{16}{a^2b^2} \right)=0$. 因为$a+b\neq 0 a\gt 0, b\lt 0$, 得$ab=-4$.

(3)因为$a\geq 4$, 而$AC=3$, 所以$CD$ 在$y$ 轴的右侧, 直线$CD$ 与函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$
的图象一定有交点, 设直线$CD$ 与函数$y1=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图象的交点为$F$. 如图所示得

$A\left( a,\frac{4}{a} \right), C\left( a-3,\frac{4}{a} \right)\Rightarrow F\left( a-3, \frac{4}{a-3} \right)\Rightarrow FC=\frac{4}{a-3}-\frac{4}{a}$

因为
\[
3-FC=3-\left( \frac{4}{a-3}-\frac{4}{a} \right)
=\frac{3(a+1)(a-4)}{a(a-3)}\geq 0\Rightarrow FC\leq 3
\]
因为$CD=3$, 所以点$F$ 在线段$DC$ 上, 即对大于或等于$4$ 的任意实数$a$, $CD$ 边
与函数$y_1=\frac{4}{x}(x>0)$ 的图象都有交点