每日一题：2020-05-01

每日一题: 2020-05-01

题目:
如图, 直线$y=kx+k(k\neq 0)$ 与双曲线$y=\frac{n+1}{x}$ 交于$C,D$ 两点, 与$x$ 轴
交于点$A$.

(1) 求$n$ 的取值范围和点$A$ 的坐标;

(2) 过点$C$ 作$CB\bot y$ 轴, 垂足为$B$, 若$S_{\triangle ABC}=4$, 求双曲线的解析式.

(3) 在(1),(2)的条件下, 若$AB=\sqrt{17}$, 求点$C$ 和点$D$ 的坐标, 并根据图象直
接写出反比例函数的值小于一次函数的值时, 自变量$x$ 的取值范围.

参考思路

(1) 由$n+1<0\Rightarrow n\lt -1$. 由$y=kx+k(k\neq 0)\Rightarrow A(-1,0)$.

(2) 设$C(a,b)\Rightarrow S_{ABC}=\frac{1}{2}a\cdot (-b)=4\Rightarrow ab=8\Rightarrow y=-\frac{8}{x}$.

(3) $B(0,b), AB=\sqrt{17}, OA=1\Rightarrow OB=4\Rightarrow B(0,-4), C(2,-4)\Rightarrow k=-\frac{4}{3}$.
联立直线与双曲线
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-\frac{4}{3}x-\frac{4}{3} \\ y=-\frac{8}{x} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} x=-3 \\ y=\frac{8}{3} \end{array}\right. \text{或} \left\{\begin{array}{lr} x=2 \\ y=4 \end{array}\right.
\]

所以由图象可知, 当$x\lt -3$ 或$0\lt x\lt 2$ 时, 反比例函数的值小于一次函数值.