每日一题：2020-05-03

每日一题: 2020-05-03

题目:
如图, 已知直线$l_1: y=-x+2$ 与直线$l_2: y=2x+8$ 相交于点$F$, $l_1,l_2$ 分别交
$x$ 轴于点$E,G$, 矩形$ABCD$ 顶点$C,D$ 分别在直线$l_1,l_2$ 上, 顶点$A,B$ 都在$x$ 轴上
且点$B$ 与点$G$ 重合.
(1)求点$F$ 的坐标和$\angle GEF$ 的度数;

(2) 求矩形$ABCD$ 的边$DC$ 和$BC$ 的长;

(3) 若矩形$ABCD$ 从原地出发, 沿$x$ 轴正方向以每秒1个单位长度的速度平移, 设移动
时间为$t(0\leq t\leq 6)$ 秒, 矩形$ABCD$ 与$\triangle GEF$ 重叠部分的面积为$s$,
求$s$ 关于$t$ 的函数关系式, 并写出相应$t$ 的取值范围.

参考思路

(1)设直线$l_1$与$y$ 轴交于点$T$. 联立$l_1,l_2$ 可解得$F(-2,4)$.
易得$T(0,2),E(2,0)\Rightarrow \triangle OTE$ 为等腰直角三角形, 所以$\angle GEF=45^{\circ}$.

(2) 由图可知$G(-4,0)\Rightarrow C(-4,6)\Rightarrow D(-1,6)\Rightarrow A(-1,0)$.
所以$DC=|(-1)-(-4)|=3, BC=6$.

(3) $S_{GFE}=\frac{1}{2}GE\cdot MF=\frac{1}{2}(2+4)\times 4=12$.
当$t$ 秒时, 移动得距离时$t$, 则$B(-4+t,0), A(-1+t,0)$;

(i) 设运动$t$ 秒, 若$BC$ 边与$l_2$ 相交, 设交点为$N$, $AD$ 与$l_1$ 相交设交点
为$K$, 那么$-4\leq -4+t\leq -2$ 即 $0\leq t\leq 2$ 时,可得 $N(-4+t,2t), K(-1+t,3-t)$
\[
s=S_{GFE}-S_{AEK}=12-\frac{1}{2}t\cdot
2t-\frac{1}{2}(3-t)=-\frac{3}{2}t^2+6t-\frac{9}{2}
\]

(ii)若$BC$ 边与$l_1$ 相交设交点为$N$, $AD$ 与$l_1$ 相交设交点为$K$, 那么$-2\lt -4+t$ 且$-1+t\leq 3$,
即$2\lt t\leq 4$ 时, 可得$N(-4+t,6-t), K(-1+t,3-t)$.
\[
s=S_{BNKA}=\frac{1}{2}[(6-t)+(3-t)]\cdot 3=-3t+\frac{27}{2}
\]

(iii) 若$BC$ 边与$l_1$ 相交设交点为$N$, $AD$ 与$l_1$ 不相交, 那么$-4+t\leq 3$
且$-1+t>3$, 即$4\lt t\leq 6$ 时, $N(-4+t,6-t)$,
\[
s=S_{BNE}=\frac{1}{2}[2-(-4+t)]\cdot (6-t)=\frac{1}{2}t^2-6t+18
\]
综上所述可得
\[
s=\left\{\begin{array}{lr} -\frac{3}{2}t^2+6t-\frac{9}{2} & (0\leq t\leq 2) \\-3t+\frac{27}{2} & (2\lt t\leq 4) \\ \frac{1}{2}t^2-6t+18 & (4\lt t\leq 6) \end{array}\right.
\]