每日一题：2020-05-06

每日一题: 2020-05-06

题目:
若正整数$p,m,n$ 为一组勾股数, 其中$p$ 为奇质数, 且$n>p,n>m$. 求证: $2n-1$ 必为完全平方数.

参考思路

由题意得$n^2=m^2+p^2\Rightarrow p^2=n^2-m^2=(n+m)(n-m)\Rightarrow 0\lt (n-m)\lt p$.
设$n=m+r (0\lt r\lt p)\Rightarrow m=n-r$ 代入上式得
\[
p^2=n^2-(n-r)^2=2nr-r^2=r(2n-r)
\]
由$r\mid p (0\lt r\lt p)\Rightarrow r=1\Rightarrow p^2=2n-1$, 所以$2n-1$ 必为完全平分数.