每日一题：2020-05-07 发表于 2020-05-07 更新于 2026-03-05 分类于 在线学习 每日一题: 2020-05-07 题目: 已知直角三角形的两条直角边分别为l,ml,ml,m, 斜边为nnn. 这里l,m,nl,m,nl,m,n 是正整数, 且lll 是质数. 求证: 2(l+m+1)2(l+m+1)2(l+m+1) 是完全平方数. 参考思路 由已知n2=l2+m2⇒l2=(n+m)(n−m)⇒n−m=1n^2=l^2+m^2\Rightarrow l^2=(n+m)(n-m)\Rightarrow n-m=1n2=l2+m2⇒l2=(n+m)(n−m)⇒n−m=1, 代入上式得l2=(m+1)2−m2=2m+1l^2=(m+1)^2-m^2=2m+1l2=(m+1)2−m2=2m+1 因此2(l+m+1)=2l+1+(2m+1)=2l+1+l2=(l+1)22(l+m+1)=2l+1+(2m+1)=2l+1+l^2=(l+1)^22(l+m+1)=2l+1+(2m+1)=2l+1+l2=(l+1)2,得证.