每日一题：2020-05-10

每日一题: 2020-05-10

题目:
已知关于$x$ 的方程$(4-k)(8-k)x^2-(80-12k)x+32=0$ 的解都是整数, 求整数$k$ 的值.

参考思路

当$(4-k)(8-k)= 0$即$k=4$ 或$k=8$ 时, 代入可得$x=1$ 或$x=-2$,所以$k=4$ 或$k=8$ 满足要求.
当$(4-k)(8-k)\neq 0$ 时, 原方程用十字相乘可得:
$[(4-k)x-8][(8-k)x-4]=0\Rightarrow x_1=\frac{8}{4-k}, x_2=\frac{4}{8-k}$.
所以$4-k=\pm 1,\pm 2,\pm 4, \pm 8\Rightarrow k=3,5,2,6,0,8,-4,12$
且$8-k=\pm 1,\pm 2,\pm 4\Rightarrow k=9,7,10,6,12,4$, 要$x_1,x_2$ 都为整数得$k=6,12$.

综上可得,当$k=4,8,6,12$ 时,满足要求.