每日一题：2020-05-16

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每日一题: 2020-05-16

题目: 已知a,b,ca,b,c 是正实数, 且方程ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 有实数根.
求证: max(a,b,c)≥49(a+b+c)\max (a,b,c)\geq \frac{4}{9}(a+b+c).

参考思路

题目等价于证明: max(aa+b+c,ba+b+c,ca+b+c)≥49\max (\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c})\geq \frac{4}{9}.
所以不妨设a+b+c=1a+b+c=1, 否则用aa+b+c,ba+b+c,ca+b+c\frac{a}{a+b+c},\frac{b}{a+b+c},\frac{c}{a+b+c} 代替a,b,ca,b,c.

(1) 当b≥49b\geq \frac{4}{9}, 则问题得证.
(2) 当0<b<490\lt b\lt \frac{4}{9} 时, 可得a+c=1−b>59a+c=1-b > \frac{5}{9}.
(i) 当a≥49a\geq \frac{4}{9} 时, 则问题得证.
(ii) 当0<a<490\lt a\lt \frac{4}{9} 时
\[
\Delta=b^2-4ac\geq 0\Rightarrow 4(\frac{5}{9}-c)\cdot c\leq 4ac\leq b^2\lt (\frac{4}{9})^2
\]
即c2−59c+481>0⇒c<19c^2-\frac{5}{9}c+\frac{4}{81}>0\Rightarrow c\lt \frac{1}{9} 或c>49c>\frac{4}{9}.
当c<19c\lt \frac{1}{9} 时, 又因为a<49a\lt\frac{4}{9}与a+c>59a+c> \frac{5}{9} 矛盾!,
因此只能有c>49c>\frac{4}{9}, 问题得证.