每日一题：2020-05-17

每日一题: 2020-05-17

题目: 关于$x$ 的方程$kx^2-(k-1)x+1=0$ 有有理根, 求整数$k$ 的值.

参考思路

当$k=0$ 时$x=-1$ 符合要求.
当$k\neq 0$ 时, 设$\Delta =(k-1)^2-4k=m^2$ 其中$m$ 为非负有理数,因为$k$ 为整数, 所
以$m$ 比为自然数.
\[
k^2-6k+1=m^2\Rightarrow 8=(k-3)^2-m^2=(k-3+m)(k-3-m)
\]
因为$k-3+m>k-3-m$ 所以可得
\[
\left\{\begin{array}{lr} k-3+m=8 \\ k-3-m=1 \end{array}\right.或 \left\{\begin{array}{lr} k-3+m=4 \\ k-3+m=2 \end{array}\right.
\]解得
\[
\left\{\begin{array}{lr} m=1 \\ k=6 \end{array}\right.或 \left\{\begin{array}{lr} m=\frac{7}{2} \\ k=\frac{15}{2} \end{array}\right.
\] 因为$k$ 为整数, 所以$k=6$.

综上可得$k=0$ 或$k=6$.