每日一题：2020-05-20

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每日一题: 2020-05-20

题目: 当mm 为整数时, 关于xx 的方程(2m−1)x2−(2m+1)x+1=0(2m-1)x^2-(2m+1)x+1=0 是否有有理根? 如果
有, 求出mm 的值; 如果没有, 请说明理由.

参考思路

因为mm 为整数, 显然2m−1≠02m-1\neq 0, 所以方程Δ=(2m+1)2−4(2m−1)=4m2−4m+5\Delta =(2m+1)^2-4(2m-1)=4m^2-4m+5.
若方程有有理根, 则$\Delta $ 必须是完全平方数, 设Δ=k2\Delta =k^2 即(2m−1)2+4=k2(2m-1)^2+4=k^2.
因此有4=k2−(2m−1)2=(k+2m−1)(k−2m+1)4=k^2-(2m-1)^2=(k+2m-1)(k-2m+1), 因为整数a+ba+b 与a−ba-b 有相同的奇偶性, 所
以只有k+2m−1=2,k−2m+1=2k+2m-1=2, k-2m+1=2 或k+2m−1=−2,k−2m+1=−2k+2m-1=-2, k-2m+1=-2, 无论哪种情况都有m=12m=\frac{1}{2} 矛盾.

所以不存在这样的整数mm.