每日一题：2020-05-22

发表于 更新于 分类于
每日一题: 2020-05-22

题目: 若关于xx 的一元二次方程3x2+3(a+b)x+4ab=03x^2+3(a+b)x+4ab=0 的两根x1,x2x_1,x_2 满足关系式
x1(x1+1)+x2(x2+1)=(x1+1)(x2+1)x_1(x_1+1)+x_2(x_2+1)=(x_1+1)(x_2+1), 试判断(a+b)2≤4(a+b)^2\leq 4 是否正确, 若正确, 加
以证明; 若不正确, 请举一反例.

参考思路

因为方程有实根, 所以Δ=9(a+b)2−48ab≥0\Delta=9(a+b)^2-48ab\geq 0, 由根与系数关系可得:

x1+x2=−(a+b),x1⋅x2=4ab3x_1+x_2=-(a+b), x_1\cdot x_2=\frac{4ab}{3}

又x12+x22+(x1+x2)=x1x2+x1x2+1⇒(x1+x2)2=3x1x2+1x_1^2+x_2^2+(x_1+x_2)=x_1x_2+x_1x_2+1\Rightarrow (x_1+x_2)^2=3x_1x_2+1, 代入得
\[
(a+b)^2=4ab+1
\]将上式代入Δ\Delta 得36ab+9−48ab≥0⇒ab≤3436ab+9-48ab\geq 0\Rightarrow ab\leq \frac{3}{4}.
因此有
\[
(a+b)^2=4ab+1\leq 4\cdot \frac{3}{4}+1=4
\]
所证成立