每日一题：2020-05-23

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每日一题: 2020-05-23

题目: 求所有的实数kk, 使关于xx 的二次方程kx2+(k+1)x+(k−1)=0kx^2+(k+1)x+(k-1)=0的两根都是整数.

参考思路

设方程两根为x1,x2x_1,x_2, 根据韦达定理有
\[
x_1+x_2=-\frac{k+1}{k}=-1-\frac{1}{k}; x_1\cdot x_2=\frac{k+1}{k}=1-\frac{1}{k}
\]
所以有x1x2−(x1+x2)=2⇒x1x2−(x1+x2)+1=3⇒(x1−1)(x2−1)=3x_1x_2-(x_1+x_2)=2\Rightarrow x_1x_2-(x_1+x_2)+1=3\Rightarrow (x_1-1)(x_2-1)=3.
因此得
\[
\left\{\begin{array}{lr} x_1-1=1 \\ x_2-1=3 \end{array}\right. 或\left\{\begin{array}{lr} x_1-1=3 \\ x_2-1=1 \end{array}\right. 或 \left\{\begin{array}{lr} x_1-1=-1 \\ x_2-1=-3 \end{array}\right. 或\left\{\begin{array}{lr} x_1-1=-3 \\ x_2-1=-1 \end{array}\right.
\]
可以解得k=−17k=-\frac{1}{7} 或k=1k=1.
将kk 代入Δ=(k+1)2−4k(k−1)\Delta=(k+1)^2-4k(k-1) 检验知k=1k=1 或k=−17k=-\frac{1}{7} 满足要求.