每日一题：2020-05-24

每日一题: 2020-05-24

题目: 设实数$a,b$ 满足$a^2(b^2+1)+b(b+2a)=40$, $a(b+1)+b=8$.
求$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$ 的值.

参考思路

由已知得: $ab+a+b=8, a^2b^2+(a+b)^2=40\Rightarrow ab(a+b)=12$, 所以$ab,a+b$ 为关于
$t$ 的二次方程$t^2-8t+12=0$ 的两个实数根, 因此有
\[
\left\{\begin{array}{lr} ab=2 \\ a+b=6 \end{array}\right. 或\left\{\begin{array}{lr} ab=6 \\ a+b=2 \end{array}\right.
\]
当$ab=6, a+b=2$ 时, 知$a,b$ 为关于$x$ 的二次方程$x^2-2x+6=0$ 的两个实数根, 但此时
方程$\Delta =4-24=-20\lt 0$ 方程无实数解, 所以舍去, 故有$ ab=2, a+b=6$.
\[
\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{(a+b)^2-2ab}{a^2b^2}=\frac{36-4}{4}=8
\]