每日一题：2020-05-28

每日一题: 2020-05-28

题目: 设$a$ 与$b$ 为方程$x^2+px+1=0$ 的两个实数根, $c$ 与$d$ 是方程$x^2+qx+1=0$ 的
两个实根.
求证: $(a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=q^2-p^2$.

参考思路

由韦达定理, 有$a+b=-p, ab=1, c+d=-q, cd=1$.
$\because (a-c)(b-c)=c^2-(a+b)c+ab=c^2+pc+1$. 又$\because c$ 是方程$x^2+qx+q=0$ 的根,
$\therefore c^2+qc+1=0\Rightarrow c^2+1=-qc$.

所以有$(a-c)(b-c)=-c(q-p)$.

同样$(a+d)(b+d)=d^2+(a+b)d+ab=d^2-pd+1=-qd-pd=-d(q+p)$

$\therefore (a-c)(b-c)(a+d)(b+d)=cd(q^2-p^2)=q^2-p^2$.