每日一题：2020-05-30

每日一题: 2020-05-30

题目: 已知方程$x^2+a_1x+a_2a_3=0$ 与方程$x^2+a_2x+a_1a_3=0$ 有且只有一个公共根.
求证: 这两个方程的另外两个根(除公共根外)是方程$x^2+a_3x+a_1a_2=0$ 的根.

参考思路

设公共根为$\alpha$, 代入方程得
\[
\left\{\begin{array}{lr} \alpha^2+a_1\alpha+a_2a_3=0 \\ \alpha^2+a_2\alpha+a_1a_3=0 \end{array}\right.
\]
两式相减得: $(a_1-a_2)\alpha+a_3(a_2-a_1)=(a_1-a_2)(\alpha-a_3)=0\Rightarrow a_1=a_2$ 或$\alpha=a_3$.

若$a_1=a_2$ 可得两个方程一样,应有两个公共根, 与只有一个公共根矛盾, 所以$a_1\neq a_2$
因此有$\alpha=a_3$ 且$a_1\neq a_2$.
因为$a_3$ 是两个方程得公共根, 所以由韦达定理知方程另外两个根一定是$a_2$ 与$a_1$.
再因为$a_2,a_3$ 是方程$x^2+a_1x+a_2a_3=0$ 的两个不等实数根可得$a_2+a_3=-a_1\Rightarrow a_3=-a_1-a_2$.
将$a_3$ 代入方程$x^2+a_3x+a_1a_2=0\Rightarrow x^2-(a_1+a_2)x+a_1a_2=0\Rightarrow (x-a_1)(x-a_2)=0\Rightarrow x_1=a_1,x_2=a_2$.
问题得证.