每日一题：2020-05-31

每日一题: 2020-05-31

题目: 对于任意实数$k$, 方程$(k^2+1)x^2-2(a+k)^2x+k^2+4k+b=0$ 总有一个根是 $1$,
(1) 求实数$a,b$;
(2) 求另一根的范围.

参考思路

把$x=1$ 代入原方程, 整理得: $4(1-a)k+(b-2a^2+1)=0$.
因为对于任意实数$k$ 上式都成立, 所以
\[
\left\{\begin{array}{lr} 1-a=0 \\ b-2a^2+1=0 \end{array}\right.
\]
解得$a=1,b=1$, 代入原方程, 可求得另一根$x_2=\frac{k^2+4k+1}{k^2+1}$
去分母, 整理得$(x_2-1)k^2-4k+(x_2-1)=0$, 将次式看成关于$k$ 的二次方程, 由于$k$ 为实数
$\therefore \Delta=(-4)^2-4(x_2-1)^2\geq 0\Rightarrow -1\leq x_2\leq 3$.