每日一题：2020-06-01

每日一题: 2020-06-01

题目: $m$ 为什么整数时, $9m^2+5m+26$ 能分解成两个连续自然数的乘积.

参考思路

设对某个自然数$k\geq 2$, 有$9m^2+5m+26=k(k-1)$ 将上式整理成关于$m$ 的二次方程得
\[
9m^2+5m-(k^2-k-26)=0
\]
因为$m$ 为整数, $k$ 为有理数,
所以$\Delta_1=25+36(k^2-k-26)=36k^2-36k-911$ 必为完全平方数.
再设$36k^2-36k-911=p^2$ ($p$ 为自然数), 即$36k^2-36k-(p^2+911)=0$, 为了使本方程得
根为有理数, 必须使$\Delta_2=36^2+4\times 36(p^2+911)=12^2(p^2+920)$ 为完全平方数,
$\therefore p^2+920$ 为完全平方数.
又设$p^2+920=q^2$ ($q$ 为自然数), 则$(q+p)(q-p)=920$.
因为$q+p>q-p>0, q+p$ 与$q-p$ 同奇偶, 即它们均为偶数. 因此有:
\[
\left\{\begin{array}{lr} q+p=460 \\ q-p=2 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} q+p=230 \\ q-p=4 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} q+p=92 \\ q-p=10 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} q+p=46 \\ q-p=20 \end{array}\right.
\]
分别解得
\[
\left\{\begin{array}{lr} p=229 \\ q=231 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} p=113 \\ q=117 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} p=41 \\ q=51 \end{array}\right. \left\{\begin{array}{lr} p=13 \\ q=33 \end{array}\right.
\]
把$p$ 的值代入求得$k$ 的值, 再把$k$ 的值代入可求得$m$ 的值为$m=-1,2,6,-13$.