每日一题：2020-06-02

每日一题: 2020-06-02

题目: 设$m^2=m+1, n^2=n+1$ 且$m\neq n$, 试求$m^7+n^7$ 的值.

参考思路

因已知得: $m,n$ 为关于$x$ 的方程$x^2=x+1$ 的两个不等实数根.
所以$m+n=1, mn=-1$, 故有
\[
m^2+n^2=(m+n)^2-2mn=3; m^3+n^3=(m+n)(m^2+n^2)-mn(m+n)=4;
\]
及
\[
m^4+n^4=(m^2+n^2)^2-2m^2n^2=7; m^7+n^7=(m^3+n^3)(m^4+n^4)=m^3n^3(m+n)=29
\]