每日一题：2020-06-03

每日一题: 2020-06-03

题目: 已知方程$x^2+3x+1=0$ 的两根为$\alpha,\beta$. 求$\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}$ 的值.

参考思路

解法一: 设$t=\sqrt{\frac{\alpha}{\beta}}+\sqrt{\frac{\beta}{\alpha}}\Rightarrow t^2=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}+2 (t>0)$
又$\alpha+\beta=-3, \alpha\beta=1\Rightarrow t^2=\frac{\alpha}{\beta}+\frac{\beta}{\alpha}+2=\frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha\beta}+2=\frac{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta}{\alpha\beta}+2=9\Rightarrow t=3$

解法二: 因为$\alpha+\beta=-3, \alpha\beta=1\Rightarrow \alpha<0,\beta<0$, 所以
\[
原式=\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{|\beta|}+\frac{\sqrt{\alpha\beta}}{|\alpha|}=-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=3
\]