每日一题：2020-06-07

每日一题: 2020-06-07

题目: 设$a,b,c$ 都是实数, $ac\neq 0$, 且方程$ax^2+bx+c=0$ 有一个正根$x=m$.
求证: 方程$cx^2+bx+a=0$ 必有一实根$n$, 使得$m+n\geq 2$.

参考思路

因为$x=m$ 是方程的正根, 所以$am^2+bm+c=0\Rightarrow c(\frac{1}{m})^2+b\frac{1}{m}+a=0$.
所以$x=1/m$ 是方程$cx^2+bx+a=0$一个根, 设$n=\frac{1}{m}$.
因此$m+n=m+\frac{1}{m}-2+2=(\sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}})^2+2\geq 2$.