每日一题：2020-06-09

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每日一题: 2020-06-09

题目: 已知实数x,yx,y 满足4x4−2x2=3,y4+y2=3\frac{4}{x^4}-\frac{2}{x^2}=3, y^4+y^2=3,求4x4+y4\frac{4}{x^4}+y^4 的值.

参考思路

因为4x4−2x2=3⇒(−2x2)2+(−2x2)=3\frac{4}{x^4}-\frac{2}{x^2}=3\Rightarrow (-\frac{2}{x^2})^2+(-\frac{2}{x^2})=3;
又y4+y2=3⇒(y2)2+y2=3y^4+y^2=3\Rightarrow (y^2)^2+y^2=3, 且−2x2<0,y2≥0-\frac{2}{x^2}<0, y^2\geq 0, 所以
−2x2,y2-\frac{2}{x^2}, y^2 是一元二次方程t2+t−3=0t^2+t-3=0 的两个不等实根.
由韦达定理: −2x2+y2=−1,−2x2⋅y2=−3-\frac{2}{x^2}+y^2=-1, -\frac{2}{x^2}\cdot y^2=-3
\[
\therefore \frac{4}{x^4}+y^4=(-\frac{2}{x^2}+y^2)^2-2(-\frac{2}{x^2}\cdot y^2)=1+6=7.
\]