每日一题：2020-06-11

每日一题: 2020-06-11

题目: 如图, 点$P$ 是反比例函数$y=\frac{k}{x}(k<0)$ 图象上的点, $PA$ 垂直$x$ 轴于点
$A(-1,0)$, 点$C$ 的坐标为$(1,0)$, $PC$ 交$y$ 轴于点$B$, 连结$AB$, 已知$AB=\sqrt{5}$.
若$M(a,b)$ 是该反比例函数图象上的点, 且满足$\angle MBA\lt \angle ABC$, 求$a$ 的取
值范围.

参考思路

因为$PA$ 垂直$x$ 轴于点$A(-1,0)$, 所以$OA=1$, 可设$P(-1,t)$. 又因为$AB=\sqrt{5}$,
所以$OB=\sqrt{AB^2-OA^2}=\sqrt{5-1}=2\Rightarrow B(0,2)$. 又因为$C(1,0)\Rightarrow BC$
的解析式为$y=-2x+2$. 因为$P(-1,t)$ 在直线$BC$ 上, 所以$t=-2 \times (-1)+2=4\Rightarrow P(-1,4)\Rightarrow k=-4$.

(1) 如图, 延长线段$BC$ 交双曲线于点$M$. 联立$BC$ 与反比例函数解析式
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=-2x+2 \\ y=-\frac{4}{x} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} x=2 \\ y=-2 \end{array}\right. 或\left\{\begin{array}{lr} x=-1 \\ y=4 \end{array}\right.(不合题意,舍去)
\]
即点$M(2,-2)$. 结合图象可知: 当$0\lt a\lt 2$ 时, $\angle MBA\lt \angle ABC$.

(2) 如图, 作点$C$ 关于直线$AB$ 的对称点$C'$, 连结$BC'$, 延长$BC'$ 交抛物线于点$M$.
因为$A(-1,0), B(0,2)$, 所以直线$AB$ 的解析式为$y=2x+2$. 因为$C(1,0)$, 所以$C'(-\frac{11}{5},\frac{8}{5})$
则易求的直线$BC'$ 的解析式为$y=\frac{2}{11}x+2$. 联立
\[
\left\{\begin{array}{lr} y=\frac{2}{11}x+2 \\ y=-\frac{4}{x} \end{array}\right.\Rightarrow x=\frac{-11\pm \sqrt{33}}{2}
\]

则根据图象可知: 当$\frac{-11-\sqrt{33}}{2}\lt a\lt \frac{-11+\sqrt{33}}{2}$ 时, $\angle MBA\lt \angle ABC$

综上知: 当$0\lt a\lt 2$ 或$\frac{-11-\sqrt{33}}{2}\lt a\lt \frac{-11+\sqrt{33}}{2}$ 时, $\angle MBA\lt \angle ABC$.