每日一题：2020-06-15

每日一题: 2020-06-15

题目: 如图, 直线$l$ 经过点$A(1,0)$, 且与双曲线$y=\frac{m}{x}(x>0)$ 交于点$B(2,1)$.
过点$P(p,p-1)(p>1)$ 作$x$ 轴的平行线分别交曲线$y=\frac{m}{x}(x>0)$ 和$y=-\frac{m}{x}(x<0)$
于点$M,N$ 两点.
(1) 求$m$ 的值及直线$l$ 的解析式;
(2) 是否存在实数$p$, 使得$S_{\triangle AMN}=4S_{\triangle AMP}$? 若存在, 请求出所
有满足条件的$p$ 值; 若不存在, 请说明理由.

参考思路

因为$B(2,1)$ 在$y=\frac{m}{x}$ 图象上, 所以$m=2$.
设直线$l$ 的解析式为$y=kx+b$, 代入$A(1,0),B(2,1)\Rightarrow k=1,b=-1$, 所以$l:y=x-1$.

显然$P$ 在直线$l$ 上
(1) 当$P$ 在$AB$ 延长线上时, 如图所示, $\triangle AMN$ 和$\triangle AMP$ 是两个同
高的三角形, 底边$MN$ 和$MP$ 在同一条直线上.当$S_{\triangle AMN}=4S_{\triangle AMP}$
时,有$MN=4MP\Rightarrow x_M-x_n=4(x_P-x_M)$, 因此
\[
\frac{2}{p-1}-\left( -\frac{2}{p-1} \right) =4\left( p-\frac{2}{p-1} \right)
\]
解得$p=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ 或$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$ (此时点$P$ 在$x$ 轴下方,舍去)

(2) 当$P$ 在线段$AB$ 上时, $x_M-x_N=4(x_P-x_M)$, 因此
\[
\frac{2}{p-1}-\left( -\frac{2}{p-1} \right) =4\left( \frac{2}{p-1}-p \right)
\]
解得$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 或$p=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$(舍去)

综上$p=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$ 和$p=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 满足要求