每日一题：2020-06-16

每日一题: 2020-06-16

题目: 设抛物线$y=ax^2+bx+c\ (a\neq 0)$ 的顶点为$(-2,1)$, 且$ax^2+bx+c=0$ 的两根之
差的绝对值为$2$, 求$a+b+c$ 的值.

参考思路

有已知得$y=a(x+2)^2+1=ax^2+4ax+4a+1$, 设$ax^2+4ax+4a+1=0$ 的两实数根为$x_1,x_2$.
所以$x_1+x_2=-4, x_1x_2=4+\frac{1}{a}$, 根据$|x_1-x_2|=2$ 可得
$(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4\Rightarrow 16-16-\frac{4}{a}=4\Rightarrow a=-1$.
因此$a+b+c=a+4a+4a+1=8a+1=-8$.