每日一题：2020-06-18

每日一题: 2020-06-18

题目: 设二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$ 满足条件: $f(0)=2, f(1)=-1$. 且其图象在$x$ 轴上截
得的线段长为$2\sqrt{2}$. 求此二次函数.

参考思路

由$f(0)=-2,f(1)=-1$ 可得
\[
\left\{\begin{array}{lr} c=2 \\ a+b+c=-1 \end{array}\right.\Rightarrow
\left\{\begin{array}{lr} c=2 \\ b=-(a+3) \end{array}\right.
\]
因此, 二次函数是: $y=ax^2-(a+3)x+2$
二次函数的图象在$x$ 轴所截得线段长度实际上就是方程$ax^2-(a+3)x+2=0$ 两根差的绝对值
, 而此方程$\Delta =(a+3)^2-8a=a^2-2a+9=(a-1)^2+8>0$, 设方程两根为$x_1,x_2$, 由韦达
定理得:$x_1+x_2=\frac{a+3}{a}$, $x_1x_2=\frac{2}{a}$
\[
|x_1-x_2|=2\sqrt{2}\Rightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=2\sqrt{2}\Rightarrow
7a^2+2a-9=0
\]
解得$a=1$ 或$a=-\frac{9}{7}$. 故所求的二次函数为$y=x^2-4x+2$ 或 $y=-\frac{9}{7}x^2-\frac{12}{7}x+2$.