每日一题：2020-06-20

每日一题: 2020-06-20

题目: 已知抛物线$y=mx^2-(3m+\frac{4}{3})x+4$ 与$x$ 轴交于$A,B$ 两点, 与$y$ 轴交于$C$ 点,
若$\triangle ABC$ 为等腰三角形, 求抛物线的解析式.

参考思路

因为$y=mx^2-(3m+\frac{4}{3})x+4$, 故当$x=0$ 时, $y=4$, 即$C(0,4)$.
当$y=0$ 时, 有$mx^2-(3m+\frac{4}{3})x+4=0$, 且$m\neq 0$, 解得$x_1=3, x_2=\frac{4}{3m}$.
即$A(3,0), B(\frac{4}{3m},0)$.
$\triangle ABC$ 是等腰三角形, 需要分三种情况讨论:
(1) 当$AC=BC$ 时, 有$\frac{4}{3m}=-3\Rightarrow m=-\frac{4}{9}$. 故$y=-\frac{4}{9}x^2+4$.

(2) 当$AC=AB$ 时, 因$AO=3, OC=4\Rightarrow AC=5$, 于是$|3-\frac{4}{3m}|=5\Rightarrow m_1=\frac{1}{6}, m_2=-\frac{2}{3}$.
即当$m=\frac{1}{6}$ 时, 有$y=\frac{1}{6}x^2-\frac{11}{6}x+4$,
当$m=-\frac{2}{3}$ 时, 有$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x+4$

(3) 当$AB=BC$ 时, 有$|3-\frac{4}{3m}|=\sqrt{4^2+(\frac{4}{3m})^2}$得$m=-\frac{8}{7}$.
故$y=-\frac{8}{7}x^2+\frac{44}{21}x+4$

综上所述, 所求抛物线的解析式有:
$y=-\frac{4}{9}x^2+4$ 或$y=\frac{1}{6}x^2-\frac{11}{6}x+4$ 或$y=-\frac{2}{3}x^2+\frac{2}{3}x+4$ 或$y=-\frac{8}{7}x^2+\frac{44}{21}x+4$