每日一题：2020-06-22

每日一题: 2020-06-22

题目: $f(x)=-\frac{x^2}{2}+\frac{13}{2}$, 在$a\leq x\leq b$ 的范围内最小值为$2a$,
最大值为$2b$, 求实数对$(a,b)$.

参考思路

分三种情况讨论.
(1) $0\leq a\lt b$, 则$f(x)$ 在$a\leq x\leq b$ 时单调递减. 所以$f(a)=2b,f(b)=2a$.

\[
\left\{\begin{array}{lr} 2b=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2} \\ 2a=-\frac{b^2}{2}+\frac{13}{2} \end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{lr} a=1 \\ b=3 \end{array}\right.
\]

(2) $a\lt b\leq 0$, 则$f(x)$ 在$a\leq x\leq b$ 时单调递增. 所以$f(a)=2a, f(b)=2b$.

\[
\left\{\begin{array}{lr} 2a=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2} \\ 2b=-\frac{b^2}{2}+\frac{13}{2} \end{array}\right.
\]
由于方程$\frac{x^2}{2}+2x-\frac{13}{2}=0$ 的两根异号, 所以满足条件的$(a,b)$ 不存在.

(3) $a\lt 0\lt b$, 此时$f(x)$ 在$x=0$ 处取最大值, 即$2b=f(0)=\frac{13}{2}\Rightarrow b=\frac{13}{4}$.
而$f(x)$ 在$x=a$ 或$x=b$ 处取最小值$2a$, 由于$a\lt 0, f(b)=-\frac{1}{2}(\frac{13}{4})^2+\frac{13}{2}=\frac{39}{32}>0$.
所以$f(a)=2a(a\lt 0)$ 即$2a=-\frac{a^2}{2}+\frac{13}{2}$, 于是
\[
\left\{\begin{array}{lr} a=-2-\sqrt{17} \\ b=\frac{13}{4} \end{array}\right.
\]

综上:
\[
\left\{\begin{array}{lr} a=1 \\ b=3 \end{array}\right.或 \left\{\begin{array}{lr} a=-2-\sqrt{17} \\ b=\frac{13}{4} \end{array}\right.
\]